\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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	a4paper,
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\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	
	\section{Ising模型与Metropolis方法}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5\linewidth]{grid}
		\caption{示意图 a. Ising模型的规则网格，每个格点代表一个粒子 b. 粒子自旋方向可为$s=\pm 1$}
		\label{fig:grid}
	\end{figure}
	
	\footnote
	{
		参考：TCD, Numerical Solutions to the Ising Model using the Metropolis Algorithm, 
		W站相关词条。
		本笔记使用AI辅助。
	}
	Ising模型是物理学中一个经典而优雅的模型，Metropolis方法则是解决Ising模型的蒙特卡洛数值求解中的明星选手。
	Ising模型的基本思路包括：
	\begin{itemize}
		\item Ising模型假定材料由大量带自旋磁矩（例如材料中的电子带有自旋磁矩）的粒子组成，每个粒子都处于规整的网格格子内，每个网格容纳一个粒子，
		其自旋方向可为$s=\pm 1$。
		因此系统的状态可由一个二维二值矩阵表述。
		
		\item Ising模型中系统能量的表达简洁且直观：
		\begin{equation}
			E = - \sum_i \sum_j J_{ij} s_i s_j - B \sum_i s_i
		\end{equation}
		（出乎意料地简单！甚至不需要烦人的微积分）其中$j$表示与第$i$个粒子相邻的数个粒子（在二维中，一般取上下左右4个邻居）；
		$J_{ij}$是粒子磁矩的相互作用强度系数（可正可负），若$J>0$，这意味着相邻粒子喜欢“随大流”——自旋方向一致（临近粒子$s$同号）时系统能量更低；
		$B$是外加磁感应强度场，当自旋方向与外磁场的方向一致时，系统也会降低能量。
		
		\item Ising模型假定粒子自旋可以被翻转，例如，从$s=1 \to s=-1$。
		这种翻转遵循以下条件：
		若翻转能降低系统能量，即$\Delta E = E_1 - E_0 < 0$，那么粒子自旋方向会毫不犹豫地翻转；
		否则，其翻转概率正比于$e^{-\frac{\Delta E}{kT}}$。这里，$ k $ 是Boltzmann常数，$ T $ 是系统的温度。
		\begin{equation}
			P(\text{第$i$个粒子翻转概率}) = 
			\begin{cases}
				1 &, \Delta E = E_1 - E_0 < 0 \\
				e^{-\frac{\Delta E}{kT}} &, \Delta E > 0
			\end{cases}
		\end{equation}
		这种机制巧妙地结合了热力学的两股力量：一方面追求有序的低能量状态（稳态驱动力），另一方面容忍一定程度的无序（热力学涨落）。
		
		在Metropolis方法中，每步会随机选取一个粒子，然后根据以上准则判断是否翻转该粒子的自旋。
		
		\item 顺带一提，系统中粒子的平均自旋为
		\begin{equation}
			\overline{s} = 1/N \sum_i s_i
		\end{equation}
		其中$N$是粒子总数，$\overline{s} \ne 0$意味着系统具有宏观磁性。	
	\end{itemize}
	
	\newpage
	
	\section{应用Ising模型：顺磁-铁磁材料}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5\linewidth]{transform}
		\caption{顺磁性-铁磁性示意图}
		\label{fig:transform}
	\end{figure}
	
	Ising模型能够优雅地解释顺磁-铁磁材料的诸多性质。
	
	\subsection{高温：顺磁性，热涨落主导}
	当系统的温度较高时，根据翻转规则，$e^{-\frac{\Delta E}{kT}} \to 1$，此时粒子自旋的翻转相当是随机的，就像\textsl{喝醉了酒的无头苍蝇}。
	这时，热涨落机制占据了主导地位，而有序的能量最低原则被冷落在一旁。
	由于粒子的自旋方向是相当随机的，你可以预见，系统将不会表现出宏观磁矩。
	
	在外加$B$场后，尽管根据能量规则，粒子自旋方向倾向于与外场$B$一致，
	然而由于热涨落的干扰（还记得那些喝醉的电子吗？），这种倾向并不会太明显，系统整体只会表现出微弱的磁性。	
	在撤去外场后，热涨落立刻重新掌控局面，那些好不容易排列整齐的自旋又将陷入混沌，系统迅速失去任何宏观磁性。
	
	以上现象是顺磁性材料的典型特征：在外加磁场下表现出较弱的磁化，而在磁场撤去后迅速恢复到无序状态。
		
	\subsection{低温，$J>0$：铁磁性，稳态驱动力主导}
	低温下Ising模型的表现更为有趣。
	当温度降低时，根据翻转规则，$e^{-\frac{\Delta E}{kT}} \to 0$，
	这意味着热涨落的影响逐渐消退，而稳态驱动力占了上风。
	若$J>0$，那么粒子将试图使各自的自旋方向保持一致，从而降低系统能量。
	
	在理想情况下，所有粒子的自旋方向应该完全一致、形成单一的有序结构；
	然而，在降温过程中，高温阶段的随机无序性往往无法被完全消除，
	因此最终形成的往往是多个聚集的“磁畴”：每个磁畴内部粒子自旋方向一致，但不同磁畴的方向可能相反，
	二者彼此抵消，系统仍可能没有宏观磁性。
	
	在外加$B$场后，根据能量规则，粒子自旋倾向于与外场方向一致。
	在低温下，不再有捣乱的热涨落机制，因此外加$B$能够迅速将所有粒子的自旋方向调整为与$B$一致，材料产生强大的宏观磁性。
	更有趣地是，撤去外场后，粒子自旋方向本来就已经同向、处于能量较低的“舒适”状态。
	没有热涨落的干扰，粒子当然不愿意离开安乐窝，因此材料的宏观磁性保持不变。
	也就是说，撤去外场后材料仍保持很强的宏观磁性，被“充磁”了。
	
	如果对一个被充磁的材料施加一个反向的较弱的$B$场呢？
	按照直觉，粒子的自旋似乎应该跟着外场一起翻转，以降低系统的总能量。
	然而，不要忘记，此时粒子的有序排列已经形成了一种稳定的结构，它们对自身有序性的“忠诚度”非常高，
	外场提供的能量不足以克服这种有序排列的低能量优势,因此这些粒子“懒得动弹”，其自旋方向将保持不变。
	也就是说，充磁的材料具有一定抵抗外场的能力，被称为“矫顽力”。
	
	以上是铁磁材料的典型特征，包括磁畴的形成、被充磁的能力，以及充磁材料对外场的抗性等。
	显然，铁磁性材料的性质完全不同于顺磁性材料。这种铁磁性-顺磁性转变过程也被认为是一种（二级）相变。
	这里所说“低温”指的温度低于Curie点$T_C$，这是铁磁性-顺磁性的转变温度。
	二维Ising模型的解析求解表明，其$T_C \approx 2.2 J/k$。
	
	
	\subsection{低温,$J<0$：反铁磁性与亚铁磁性}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.2 \linewidth]{u_af}
		\caption{反铁磁性示意图 \textsl{密集恐惧症谨入！}}
		\label{fig:uaf}
	\end{figure}
	
	我们上文讨论的是$J>0$的铁磁性情况，那如果$J<0$呢？
	在低温下，$J<0$意味着相邻粒子的自旋方向偏好于相反（$s$异号）。
	对于二维情况，这将形成交替分布的棋盘状结构。
	尽管棋盘状结构看起来有点像是随机的，但它实际上是有序的。
	由于相邻粒子自旋方向相反，因此磁矩将相互抵消，而不显宏观磁性。
	
	在施加足够强的外场后，外场的能量将把系统从棋盘状结构拉出来，使粒子自旋方向与外场相同。
	然而，一旦撤去外场，由于反铁磁材料并不喜欢自旋方向相同的粒子聚集，因此将很快次回落为没有宏观磁性的棋盘状结构。
	因此，反铁磁材料一般不能被充磁。
	
	反铁磁材料在很多过渡态金属化合物中常见。
	不过由于金属化合物中不同元素的磁矩及相互作用强度并不完全相同，
	因此反向磁矩不一定完全被抵消，而呈现更复杂的性质，例如亚铁磁性。
	
	\section{小结}
	尽管Ising模型在许多方面并不足够精确——例如，它对物质结构的建模较为粗糙，相互作用强度 $J_{ij}$的设定更多是基于唯象而非严格的电动力学微观推导，
	但它却以其极简的形式为我们提供了一个深刻而优雅的框架，用以理解顺磁性和铁磁性物质的基本机制。
	
\end{document}
